Како израчунати површину пирамиде: база, бочна и пуна?

У припреми за полагање испита у математичким студентиманеопходно је систематизовати знање о алгебри и геометрији. Желим да комбинујем све познате информације, на пример, како израчунати површину пирамиде. И почевши од базе и бочних лица до подручја целе површине. Ако је са бочним ивицама ситуација јасна, јер су то троуглови, онда је основа увек различита.

квадрат пирамиде

Шта да радите када пронађете подручје базе пирамиде?

Може бити потпуно свака фигура: од произвољног троугла до н-гона. И ова основа, поред разлике у броју углова, може бити права фигура или погрешна. У задацима од интереса који су од интереса за ученике, постоје само задаци са тачним цифрама у бази. Зато ћемо разговарати само о њима.

Прави троугао

То је једнакост. Онај чије су све стране једнаке и обележене словом "а". У овом случају, површина основе пирамиде израчунава се према формули:

С = (а2 * √3) / 4.

Скуаре

Формула за израчунавање његове површине је најједноставнија, овде "а" је поново страна:

С = а2.

Несбитан редован н-гон

Страна полигона има исту ознаку. За број углова, користи се латинска слова н.

С = (н * а2) / (4 * тг (180º / н)).

формула пирамиде

Шта треба урадити када израчунате бочну и потпуну површину?

Пошто је основа тачна фигура,сва лица пирамиде су једнака. И сваки од њих је равноправан троугао, пошто су бочне ивице једнаке. Затим, како бисмо израчунали бочну површину пирамиде, потребна је формула која се састоји од сума идентичних мономала. Број предмета одређује се број стране базе.

Израчунава се површина једнаког троуглапрема формули у којој се половина производа базе помножава висином. Ова висина у пирамиди се назива апотхемом. Њена ознака - "А". Општа формула за бочну површину изгледа овако:

С = ½ П * А, где је П периметар базе пирамиде.

Постоје ситуације када странке нису познате.базе, али с обзиром на бочне ивице (у) и равни угао на врху (α). Тада би требало користити такву формулу за израчунавање бочне површине пирамиде:

С = н / 2 * ин2 син α.

базну површину пирамиде

Проблем број 1

Стање Нађите укупну површину пирамиде, ако је заснована на једнакостраничном троуглу са страном од 4 цм, а апотхем има вредност од 3 цм.

Одлука. Мора почети са израчунавањем периметра базе. Пошто је ово правилан троугао, П = 3 * 4 = 12 цм, пошто је апотем познат, можемо одмах израчунати површину целокупне бочне површине: ½ * 12 * =3 = 6√3 цм2.

За троугао у бази добијамо следећу вредност површине: (42* )3) / 4 = 4√3 цм2.

Да бисте одредили целу површину, потребно је да додате две вредности: 6√3 + 4√3 = 10√3 цм2.

Одговор је. 10√3 цм2.

Проблем број 2

Стање. Постоји правилна четверокутна пирамида. Дужина доње стране је 7 мм, а бочна ивица 16 мм. Неопходно је открити подручје његове површине.

Одлука. Пошто је полиедар четверокутан идесно, онда се у њеној бази налази квадрат. Проналажење подручја базе и бочних страна, биће могуће пребројити подручје пирамиде. Формула за квадрат је дата горе. А са стране, све стране троугла су познате. Дакле, можете користити формулу Героне за израчунавање њихових подручја.

Први прорачуни су једноставни и воде до тог броја: 49 мм2. За другу вриједност, потребно је израчунати полупречник: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 мм. Сада можете израчунати површину једнакокрачног троугла: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16)2= = 2985,9375 = 54,644 мм2. Постоје само четири таква троугла, тако да када рачунате укупан број, морате га помножити са 4.

Испада: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 мм2.

Одговор. Жељена вредност је 267,576 мм2.

Проблем број 3

Стање. За правилну четверокутну пирамиду потребно је израчунати површину. Позната је страна трга - 6 цм и висина - 4 цм.

Одлука. Најлакши начин да се користи формула са производом периметра и апотема. Прву вредност је лако пронаћи. Други је мало компликованији.

Мораћемо да се сетимо Питагорине теореме и размотримоправоугаони троугао. Формира се висином пирамиде и апотема, што је хипотенуза. Друга нога је једнака половини стране квадрата, јер висина полиедра пада у средини.

Жељени апотем (хипотенуза правог троугла) је √ (32 + 42) = 5 (цм).

Сада можете израчунати жељену вриједност: ½ * (4 * 6) * 5 + 62 = 96 (цм2).

Одговор је. 96 цм2.

квадрат пирамиде

Проблем број 4

Стање Даје се правилна хексагонална пирамида. Странице њеног постоља су 22 мм, бочни рубови су 61 мм. Која је површина бочне површине овог полиедра?

Одлука. Аргументи у њему су исти као што су описани у проблему број 2. Само тамо је дата пирамида са квадратом у подножју, а сада је то шестерокут.

Прво, површина базе израчунава се помоћу горње формуле: (6 * 22)2) (4 * тг (180º / 6)) = 726 / (тг30º) = 726√3 цм2.

Сада морате знати полу-периметарједнакокрачан троугао, који је бочна страна. (22 + 61 * 2): 2 = 72 цм

Прорачуни према формули Героне: √ (72 * (72-22) * (72-61))2) = 600435600 = 660 цм2. Прорачуни који ће дати бочној површини: 660 * 6 = 3960 цм2. Остаје да их додате како бисте сазнали цијелу површину: 5217.47≈5217 цм2.

Одговор је. Приземље - 726√3 цм2, бочна површина - 3960 цм2, цела површина је 5217 цм2.